Nama : Muhammad Hilmi Faiz

Kelas : XI IPS 2

PENERAPAN TURUNAN:
KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN & UJI TURUNAN KEDUA

Assalamualaikum Wr.Wb.

Halo semua!!!!
apa kabar? baik? semoga baik yah.......
Hari ini kita akan belajar tentang persamaan garis singgung pada kurva dan garis normal. sudah siap? ayo meluncur!!!!

Definisi 1 

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I. 

1. Fungsi f dikatakan naik (increasing) pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 di I    berlaku: jika x1 < x2, maka f(x1) < f(x2). 
2. fungsi f dikatakan turun (decreasing) pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 di I    berlaku: jika x1 < x2, maka f(x1) > f(x2). 
3. fungsi f dikatakan monoton ketat (strictly monotonic) pada I jika f naik saja atau turun saja pada I.

Teorema 1 (Teorema kemonotonan)

Misalkan fungsi f kontinu pada interval I dan dapat diturunkan di setiap titik dalam dari I. 

1. Jika f ' (x) > 0 untuk setiap titik dalam x di I, maka f naik pada I. 
2. Jika f ' (x) < 0 untuk setiap titik dalam x di I, maka f turun pada I. 

Contoh 
Tentukanlah interval yang membuat fungsi f(x) = x 3 − 12x + 1 naik atau turun! 

Turunan fungsi f adalah f 0 (x) = 3 x 2 − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Fungsi f naik jika f ' (x) > 0, yaitu jika x berada di (−∞, −2) ∪ (2, ∞). Lebih lanjut, fungsi f turun jika f ' (x) < 0, yaitu jika x berada di (−2, 2). 

Kurva biru: grafik fungsi f. 

Kurva merah: grafik fungsi f ' . 

Definisi 2

Misalkan fungsi f dapat diturunkan pada interval buka I. 

Fungsi f dikatakan cekung ke atas (concave up) pada I, jika fungsi f ' naik pada I. 

Fungsi f  dikatakan cekung ke bawah (concave down) pada I, jika fungsi f ' turun pada I.

Teorema 2 (Teorema kecekungan (concavity theorem)) 

Misalkan fungsi f dapat diturunkan pada interval buka I. 

1 Jika f ''(x) > 0 untuk setiap x di I, maka f cekung ke atas pada I. 

2 Jika f ''(x) < 0 untuk setiap x di I, maka f cekung ke bawah pada I. 

Contoh  

Tentukanlah interval yang membuat fungsi f(x) = x 3 − 12x + 1 cekung ke atas atau cekung ke bawah!

 Turunan fungsi f adalah f ' (x) = 3 x 2 − 12. Turunan fungsi f ' adalah f ''(x) = 6 x. Fungsi f cekung ke atas jika f ''(x) > 0, yaitu: jika x berada di interval (0, ∞). Lebih lanjut, fungsi f cekung ke bawah jika f '' (x) < 0, yaitu jika x berada di interval (−∞, 0). 

Kurva biru: grafik fungsi f. 

Kurva merah: grafik fungsi f ' . 

Garis hijau: grafik fungsi f '' .

Misalkan fungsi f kontinu pada c. 

Titik (c, f(c)) disebut titik belok (inflection point) dari grafik fungsi f jika f cekung ke atas pada satu sisi dari x = c dan f cekung ke bawah pada sisi lainnya dari x = c. 

Calon (candidate) untuk titik belok dicari dengan f ''(c) = 0 atau f '' (c) tidak ada.

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

Teorema Uji Turunan Kedua

Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.

1. Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
2. Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).

Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.

---

Pembuktian Jika f ’(c) = 0 dan f ”(c) > 0, maka ada selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga

untuk semua x ≠ c dalam I. Jika x < c, maka f ’(x) < 0. Demikian juga, jika x > c, maka x – c > 0 dan f ’(x) > 0. Jadi, f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c, dan berdasarkan Uji Turunan Pertama, f(c) merupakan minimum lokal f. Pembuktian kasus kedua serupa dengan pembuktian kasus pertama tersebut.

Contoh: Menggunakan Uji Turunan Kedua

Tentukan ekstrim lokal

Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.

Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya

kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

Titik	(–1, –2)	(0, 0)	(1, 2)
Tanda f ”(x)	f ”( –1) > 0	f ”(0) = 0	f ”(1) < 0
Kesimpulan	Minimum lokal	Uji gagal	Maksimum lokal

Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.

Gimana? Gampang? Susah? kalau gampang pelajarin lagi di web atau buku lainnya.... kalau susah yuk scroll lagi sampai bisa.... kalau sudah bisa, aku pamit, sampai jumpa di materi berikutnya

stay safe, stay at home

MATEMATIKA KEREN!!!!!

BELAJAR MATEMATIKA HEBAT!!!!!

Wassalamualaikum Wr.Wb.

Daftar Pustaka:

Varberg, D., Purcell, E., Rigdon, S., Calculus, 9th ed., Pearson, 2006.

https://ocw.ui.ac.id/pluginfile.php/13759/mod_resource/content/2/bab3_aplikasi_turunan_32.pdf?forcedownload=1

https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/4/