LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

pada tanggal

Nama : Muhammad Hilmi Faiz /23

Kelas : XI IPS 2


LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA



Assalamualaikum wr.wb.

Halo semua!!! apa kabar? Baik? Semoga baik yah......

Di blog ini kita akan belajar tentang Luas dan Volume yang berkaitan dengan integral. selain itu, aku juga bakal kasih kalian kasus-kasus atau contoh soal dari materi yang akan kita bahas ini. penasaran? pasti! yuk langsung aja scroll dan selamat belajar!!!


LUAS DAERAH

Misalkan y = f

berharga positif pada daerah latexa≤x≤b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f

dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

luas1.png

Bila y = f

berharga negatif pada daerah latexa≤x≤b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f
 dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan 

pada daerah latexa≤x≤b maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f
 dan y = g adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

luas4.png

luas6.png

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

 

y = x2 ……… 

y = x + 6 ……… 

Dari 

dan 

didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = 2

Luas daerah,

ISI BENDA PUTAR

Misalkan y = f

terdefinisi dan integrabel pada daerah latexa≤x≤b, bila daerah yang dibatasi oleh y = f

dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

luas7.png

Contoh 1:

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

luas8.png

Contoh 2 :

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

Sehingga :

A. Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi suatu kurva dengan sumbu x dapat kita gunakan konsep integral tentu

Perhatikan Ilustrasi berikut

268

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Luas Daerah}}\\\hline \textrm{Di Atas Sumbu X}&\textrm{Di Bawah Sumbu X}\\\hline &-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx\\ \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx&atau\\ &\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\: \: dx\\\hline \end{array}.

Misalkan kita diberikan gambar berikut,

269

maka luas  A_{1}\: \textrm{dan}\: A_{2}  adalah:

L_{\displaystyle A_{1}\: \textrm{dan}\: \displaystyle A_{2}}=\displaystyle \int_{b}^{c}f(x)\: dx-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: dx.

B. Volume Benda Putar

\boxed{V=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( f(x) \right )^{2}\: \: dx=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx}.

Perhatikanlah ilustrasi jika suatu bidang datar dirotasikan terhadap sumbu Y

270

CONTOH SOAL
\begin{array}{lp{16.0cm}}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tentukanlah luas daerah bidang berikut dan tentukan pula volumenya seandainya bidang yang diarsir tersebut diputar terhadap sumbu X} \end{array}\\.
271
Jawab:
\begin{array}{lll}\\ \begin{aligned}L_{\textrm{Arsiran}}&=\displaystyle \int_{1}^{3}2x\: dx\\ &=\displaystyle \left [ x^{2} \right ]_{1}^{3}\\ &=\left ( 3 \right )^{2}-\left ( 1 \right )^{2}\\ &=9-1\\ &=8\quad \textbf{satuan luas}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\textbf{dan}&\begin{aligned}V_{\textrm{Benda putar}}&=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( y \right )^{2}\: dx=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( 2x \right )^{2}\: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}4x^{2}\: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{4x^{3}}{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 3^{3}}{3} \right )-\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 1^{3}}{3} \right )\\ &=36\pi -\displaystyle \frac{4}{3}\pi \\ &=34\displaystyle \frac{2}{3}\pi \quad \textbf{satuan volum} \end{aligned} \end{array}
.
\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Jika}\: f(x)=\left ( x-2 \right )^{2}-4\: \: \textrm{dan}\: \: g(x)=-f(x),\: \textrm{maka luas daerah yang di batasi kurva \textit{f} dan \textit{g} adalah ....\textbf{(UAN 2003)}} \end{array}\\ \begin{array}{lll}\\\\ .\quad&a.&10\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &b.&21\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &c.&22\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &d.&42\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &e.&45\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{array}.
Jawab:
Perhatikan Ilustrasi berikut
274

 \begin{aligned}\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( g(x)-f(x) \right )\: \: dx&=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 4x-x^{2} \right )-\left ( x^{2}-4x \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 8x-2x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \left [4x^{2}-\frac{2}{3}x^{3} \right ]_{0}^{4}\\ &=\displaystyle \left ( 4.4^{2}-\frac{2}{3}.4^{3} \right )-\left ( 4.0^{2}-\frac{2}{3}.0^{3} \right )\\ &=\displaystyle \left ( 64-\frac{2}{3}.64 \right )-0\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}=21\frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{aligned}.

Kita juga dapat menggunakan rumus   \displaystyle L=\frac{\displaystyle D\sqrt{D}}{\displaystyle 6a^{2}}.
\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}f(x)&=g(x)\\ f(x)&=-f(x), &\textnormal{ingat g(x)\: =\: -f(x)}\\ 2f(x)&=0, &\textnormal{tidak boleh disederhanakan, }\\ 2\times \left (\left ( x-2 \right )^{2}-4 \right )&=0, &\textnormal{karena akan mempengaruhi hasil akhir}\\ 2\times \left ( x^{2}-4x \right )&=0\\ 2x^{2}-8x&=0,\quad \begin{cases} a=2,\: b=-8 & c=0 \\ D=b^{2}-4ac, & D=\left ( -8 \right )^{2}-4(2)(0)=64 \end{cases}\\ &\\ L_{\: \textbf{daerah}}&=\displaystyle \frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{6\textbf{a}^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\sqrt{64}}{6(2)^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\times 8}{6\times 4}\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}\\ &=21\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned}\\\hline\end{array}
.
\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui parabola}\: \: f_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: f_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}.\\ &\textrm{Titik potong kedua para bola tersebut dapat cari dengan}\\ &\\ &f_{1}(x)=f_{2}(x)\: \: \Leftrightarrow \: \: a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}\\ &\: \, \, \qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow \: ax^{2}+bx+c=0.\\ &\\ &\textrm{Jika kedua parabola berpotongan di dua titik, tunjukkan bahwa luas daerah antara} \\ &\textrm{kedua parabola tersebut dapat dinyatakan dengan}\: \: \: \displaystyle \textbf{L}=\frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{\textbf{6a}^{\textbf{2}}} \\\end{array}.
Bukti:
ax^{2}+bx+c=0\: \begin{cases} &x_{1}=\displaystyle \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & \\ &x_{2}=\displaystyle \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{cases}\\ \begin{aligned}L&=\displaystyle \int_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\: \left ( ax^{2}+bx+c \right )\: \: dx=\left [ \displaystyle \frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx \right ]_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\\ &=\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &\quad -\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{a}{24a^{3}}\left [ \left ( \sqrt{D}^{3}-3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}-b^{3} \right )+\left ( \sqrt{D}^{3}+3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}+b^{3} \right ) \right ]\\ &\quad +\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right )-\left ( b^{2}+2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right ) \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ \left ( -b+\sqrt{D} \right )-\left ( -b-\sqrt{D} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{1}{24a^{2}}\left [ 2\sqrt{D}^{3}+6\sqrt{D}b^{2} \right ]+\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ -4b\sqrt{D} \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ 2\sqrt{D} \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}^{3}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ D+3b^{2}-6b^{2}+12ac \right ]\\ \end{aligned}

\begin{aligned}&=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-4ac \right )-3b^{2}+12ac \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ -2b^{2}+8ac \right ]=-\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ b^{2}-4ac \right ]=-\frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ D \right ]\\ &=-\frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}},\quad \textbf{luas tidak mungkin negatif}\\ L&=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}}\quad \blacksquare \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y^{2}=x\: \: \textrm{dan}\: \: y=x\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}.
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut ini
275.
\begin{array}{|r|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Langkah-langkah}}\\\hline \textrm{Pertama (Mencari Batas)}&\textrm{Kedua (Menentukan Volumenya)}&\textrm{Keterangan}\\\hline \begin{aligned}y&=y\\ x^{2}&=x\\ x^{2}-x&=0\\ x\left ( x-1 \right )&=0\\ x=0\: \: \textrm{atau}\: \: x&=1\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}V&=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{0}^{1}\left ( x-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]_{0}^{1}\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right ]\\ V&=\displaystyle \frac{1}{6}\pi \end{aligned}&\begin{aligned}&\textnormal{Perhatikan bahwa;}\\ &y^{2}=x\Rightarrow y=\sqrt{x},\: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{1}\\ &\textnormal{Sehingga}\: y_{1}-\textrm{nya adalah}\: \: \sqrt{x}\\ &\textnormal{dan}\: \: y=x\: \: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{2}\\ &\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )=\left ( \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )=x-x^{2}\end{aligned} \\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\textrm{Jadi, volume dari benda putar tersebut dalam satuan volum adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\pi }&\\\hline \end{array}
.
\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y=2x\: ,\: y=x,\: x=1,\: \textrm{dan}\: \: x=3\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}.
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut
276
\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=1\: \: \textrm{dan}\: \: x=3&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}\left ( f^{2}(x)-g^{2}(x) \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}\left ( \left ( 2x \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}3x^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ x^{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\displaystyle \pi \left ( 3^{3} \right )-\pi \left ( 1^{3} \right )\\ &=27\pi -1\pi \\ V&=26\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Tentukan volume daerah yang dibatasi oleh lingkaran }\\ &x^{2}+y^{2}=4\: ,\: \textrm{selang}\: -2\leq x\leq 2\: \textrm{dan}\: \: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}.
Jawab:
277
\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=-2\: \: \textrm{sampai}\: \: x=2&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{-2}^{2}\left ( 4-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ 4x-\displaystyle \frac{x^{3}}{3} \right ]_{-2}^{2} \\ &=\displaystyle \pi \left ( 8-\displaystyle \frac{8}{3} \right )-\pi \left ( -8+\displaystyle \frac{8}{3} \right )\\ &=\displaystyle \pi \left ( 8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3} \right )\\ V&=\displaystyle \frac{32}{3}\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}


Nah.... bagaimana? Gampang? Susah? kalau gampang..... yuk belajar lagi di buku biar gak berdebu. kalau susah yuk scroll lagi keatas sampai hapal. Terima kasih sudah membaca blog ini, aku mengucapkan sampai jumpa! selamat bertemu kembali di blog selanjutnya.......

stay safe, stay at home

MATEMATIKA KEREN!!!!!

BELAJAR MATEMATIKA HEBAT!!!!!


Wassalamualaikum wr. wb.


DAFTAR PUSTAKA



Komentar

Posting Komentar